这是一个有难度的问题，至少对于高中生来说很难理解
我们知道三角函数本质上就是指数函数，而指数函数的定义是
我们需要证明这是一个良定义的记号，也就是说：对任意
，级数
都是收敛的
证明：对任意给定
，设
，则有
，显然存在正整数
，使得
时恒有
（严格来说为什么指数函数的量级小于阶乘函数是需要证明的，但是这由高中数学的知识，简单放缩即可说明）
而
是收敛的级数，从而级数
绝对收敛，故收敛（绝对收敛蕴含收敛是柯西收敛准则的直接推论，如果你不熟悉，那么请自行补充一下基础知识）
这里可能有小伙伴产生了疑问：上面的
表示的是复数
的模长，并非绝对值呀，怎么还能说“绝对收敛”呢？其实这并没有任何问题，因为
定义：对于非空集合
，若
满足条件
1.
，且
2.对任意
均有
（三角不等式）
则称
是
两点间的距离，
按照距离
成为度量空间，记为
定义：给定度量空间
，若
中的点列
满足：对任意
，存在正整数
，使得任意
都有
，则称
为柯西列。
定义：若度量空间
中每个柯西列都收敛，则称
为完备的度量空间。
定理（柯西收敛准则）：在完备的度量空间中，点列 收敛，当且仅当
为柯西列。
显然
是完备的度量空间，因而成立柯西收敛准则：级数
收敛，当且仅当
，这样，由绝对收敛，结合三角不等式，就能推出收敛。
然后是三角函数的定义：
我们将要证明：
在此之前还需要做一些准备工作，我们要借助指数函数的一个性质：
（这并非天经地义成立，不需证明的事实！）
为此我们还需要一个引理：
定理：设 均为绝对收敛的复数级数，
是
的一个重排，则不论如何重排，均有级数
收敛且成立
，特别地，此时成立
。
证明：较繁琐，可以参考任何一本数学分析教材，此处省略（主要因为学过数分的人都知道这个定理应该如何证，而没学过数分的同学，我即便在这里写了你们也没有耐心去看的，因为太啰嗦了）。
回到原题，前面已经证明了
是绝对收敛的复数级数，因而有
这其中化简时运用了二项式定理：对正整数
成立
，其中
为组合数。
现在距离我们的目标还差最后一个细节——
是多少？很简单，代入
即可（注：在指数函数的定义中，便约定了
）
好了，准备工作已经全部到位，现在来证明题主想要的恒等式吧
可见
这个大家无时无刻都在使用的恒等式一点也不平凡！并且其证明过程也是较为复杂的。因而，作为中学生，想要真正理解其证明过程，还是太困难了。
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